ভেক্টরের উপাংশ (Vector Components)

ভেক্টরের উপাংশ কী?

ভেক্টরের উপাংশকে সহজ বাংলায় বলা যেতে পারে একটা ভেক্টর কে ভেঙে দুইটা ভাগে ভাগ করা।

এটাকে তোমরা ছায়ার সাথে তুলনা করতে পারো। অর্থাৎ একটা ভেক্টরের ভূমি বরাবর কি রকম ছায়া পড়বে, আর উল্লম্ব দিক বরাবর কিরকম ছায়া পড়বে। ত্রিকোণমিতি দিয়ে এই ব্যাপারটা খুব সহজে ব্যাখ্যা করা যায়।

Δ𝐴𝐵𝐶 থেকে দেখা যাচ্ছে,

• এখানে 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 হচ্ছে লম্ব বরাবর R ভেক্টরের উপাংশ
• এবং 𝑅cos𝜃 হচ্ছে আনুভূমিক বরাবর R ভেক্টরের উপাংশ

জেনে রাখা ভালো

আনুভূমিক বরাবর কোন ভেক্টর $\overrightarrow{R}$ এর জন্য, মধ্যবর্তী কোণ = 0, তাই

• আনুভূমিক উপাংশ = R
• উল্লম্ব উপাংশ = 0

উল্লম্ব বরাবর কোন ভেক্টর $\overrightarrow{R}$ এর জন্য, মধ্যবর্তী কোণ = 90, তাই

• আনুভূমিক উপাংশ = 0
• উল্লম্ব উপাংশ = R

উপাংশ সম্পর্কিত পরিচিত কিছু উদাহরণ

নৌকার গুণ টানা

লম্বা দড়ি ব্যবহার করলে লব্ধি বলটা $F\cos \theta$ এর দিকে হেলে থাকে। অর্থাৎ $F\cos \theta$ এর পরিমাণ বেশী হয় তাই পাড়ের দিকে টেনে নিতে সুবিধা হয়।

লন রোলার ঠেলা অপেক্ষা টানা সহজ

(a) টানলে$\to$ আপাত ওজন কমে$\to$ $w-Fsin\theta \to$ সহজ

(b) ঠেললে$\to$ আপাত ওজন বাড়ে$\to$$w+Fsin$$\theta \to$কঠিন

[মনে রাখা: ঠেলাতে “ঠ' আবার কঠিন এ ‘ঠ' ]

Demo Questions

1. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{R}$ যার মান 10 এবং কোণ $\theta ={30}^{\circ }$ । ভেক্টরের আনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাংশ নির্ণয় করো।
2. ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ এর মান 15 এবং এটি ${60}^{\circ }$ কোণে x-অক্ষের সাথে অবস্থান করছে। $\overrightarrow{A}$ এর x এবং y কম্পোনেন্ট বের করো।
3. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{B}$ এর আনুভূমিক উপাংশ 8 এবং উল্লম্ব উপাংশ 6। ভেক্টরটির মান এবং $\theta$ কোণ নির্ণয় করো।
4. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{C}$ ভূমি বরাবর 12 এবং উল্লম্ব বরাবর 5। $\overrightarrow{C}$ এর মান এবং ভূমি বরাবর কোণ $\theta$ নির্ণয় করো।
5. ভেক্টর $\overrightarrow{D}$ এর মান 20 এবং $\theta ={45}^{\circ }$ । $\overrightarrow{D}$ এর উপাংশ $R\cos \theta$ এবং $R\sin \theta$ এর মান বের করো।

Answers:

1. ভেক্টর $\overrightarrow{R}=10$, $\theta ={30}^{\circ }$ হলে,
   • আনুভূমিক উপাংশ = 8.66
   • উল্লম্ব উপাংশ = 5.00
2. ভেক্টর $\overrightarrow{A}=15$, $\theta ={60}^{\circ }$ হলে,
   • x উপাংশ = 7.50
   • y উপাংশ = 12.99
3. ভেক্টরটির আনুভূমিক উপাংশ 8 এবং উল্লম্ব উপাংশ 6 হলে,
   • ভেক্টরের মান = 10.00
   • কোণ $\theta ={36.87}^{\circ }$
4. ভেক্টর $\overrightarrow{C}$ ভূমি বরাবর 12 এবং উল্লম্ব বরাবর 5 হলে,
   • ভেক্টরের মান = 13.00
   • কোণ $\theta ={22.62}^{\circ }$
5. ভেক্টর $\overrightarrow{D}=20$, $\theta ={45}^{\circ }$ হলে,
   • $R\cos \theta =14.14$
   • $R\sin \theta =14.14$